Филиал Института Энергетических Проблем Химической Физики
(ФИНЭПХФ) РАН

142432, Московская область, Ногинский район, г. Черноголовка, проспект академика Семенова, 
1, корп. 10
Лаборатория Ионизационных процессов в плотных средах
Бориев Игорь Абузедович (снс, к.ф-м.н.)
тел.: 8-916-680-16-45
факс: 8-916-680-35-73
e-mail: boriev@binep.ac.ru

Статистическое обоснование теории силового переноса (дрейфа) и разогрева электронов под действием электрического поля в  больцмановском  газе  атомов

Введение

Недавно впервые было дано адекватное экспериментальным данным теоретическое решение задачи о силовом переносе (скорость дрейфа V_d) и разогреве (средняя энергия ε) электронов под действием силы внешнего электрического поля E в простой модельной среде (плотный больцмановский газ атомов) [1,2]. При анализе этих процессов для рассматриваемой квазиравновесной диссипативной системы (ансамбль независимых стационарно дрейфующих в среде электронов) были использованы газокинетические представления, а также понятия статистической физики об уравнениях динамического баланса для средних значений параметров такой системы и физической кинетики о времени релаксации их неравновесных значений. Следует отметить, что использование с этой целью функции распределения импульсов (скоростей) электронов является достаточным, но не необходимым методом, т.к. искомые средние по ансамблю (или времени) значения параметров полностью описываются уравнениями баланса. Кроме того, применение этой функции требует ее знания в сильных полях для разогреваемых переносом электронов, однако таких данных пока нет, а обычно используемое для них приближение малой анизотропии этой функции ошибочно (см. ниже).  

Идея решения задачи основана на учете числа Z полных (усредненных) упругих столкновений электронов массой m с атомами массой M >> m, требуемого для релаксации импульса направленного переноса электрона p_E=mV_d (процесса, определяющего силу трения электрона). Такой подход логичен, т.к. упругое рассеяние является единственным взаимодействием электронов с атомами (вплоть до достижения электронами энергии возбуждения атомов), и поэтому ясно, что для релаксации p_E требуется некоторое число таких полных столкновений, т.е. Z≥1. Очевидно, введение Z дает необходимую для решения задачи  статистически обоснованную количественную связь длины свободного пробега электрона λ с длиной его пробега λp до потери импульса переноса (λp=Zλ). Обычно же (уже свыше ста лет, начиная с работ П. Друде по динамике электронов в металлах) принято полагать, что Z=1. Это ошибочное (см. ниже) допущение обосновывается тем, что электрон должен терять весь импульс переноса в каждом таком столкновении из-за изотропности упругого рассеяния электронов на много более тяжелых атомах.

В результате решения найдены аналитические зависимости V_d(E,Z) и ε(E,Z), а также показано, что эффективная масса электрона в процессах его силового переноса и разогрева весьма велика, будучи близка к массе рассеивающего атома: m_d = M/Z. При этом время релаксации этих процессов также сравнительно велико и составляет τ_d = τM/m, где τ - время свободного пробега электрона. Кроме того, было установлено, что разогрев электронов, неизбежный при их силовом переносе в больцмановском газе атомов, сопровождается значительным вытягиванием пространства скоростей (импульсов) электронов в направлении их переноса. В сильных полях, когда тепловой (изотропный) вклад в величину ε уже мал, это фундаментальное явление приводит к 3-х кратному различию средних скоростей (соответственно, к 9-ти кратному различию средних энергий) у электронов, движущихся вдоль и против направления переноса. Однако почти сто лет (начиная с работ Г.А. Лорентца, далее С. Чепмена и др. по динамике электронов в газах) принято полагать, что в сильных полях функция распределения скоростей горячих электронов остается почти изотропной, хотя и не является  уже максвелловской. Это допущение также исходит из изотропности рассеяния электронов на атомах (но не учитывает важный в сильных полях период их свободного движения) и оправдывается малостью величины V_d (ошибочно отождествляемой с анизотропией этой функции) по сравнению со средней скоростью хаотического движения электрона v=(2ε/m)^1/2. Реально же при сильном разогреве анизотропия функции распределения (пространства) скоростей электронов достигает величины V_d(M/Zm)^1/2, т.е. самой v (т.к. ε=MV_d²/2Z [1]). Это отражает факт силового переноса в этой среде со скоростью V_d не только массы электрона m, а еще и гораздо большей массы M/Z,  что есть  простое электрокинетическое явление увлечения дрейфующими электронами атомов газа (аналог электрофореза), т.к. электроны при рассеянии на атомах передают им часть своего импульса переноса.  

Развитые представления о реальных свойствах динамики силового переноса электрона впервые позволили дать как качественное, так и количественное объяснение двум давно известным (и на первый взгляд удивительным) эффектам, наблюдаемым в жидких инертных газах. Во-первых, это эффект насыщения величины V_d в сильных полях [3,4], который полностью объясняется переходом достаточно разогреваемых переносом электронов в неупругий процесс циклического возбуждения атомов среды [1]. Во-вторых, это эффект многократного увеличения V_d  при малой добавке молекулярной примеси [3], который вызван, в первую очередь, противодействием неупругих столкновений  электронов с молекулами вытягиванию пространства скоростей электронов [2]. При этом из параметров своеобразной зависимости V_d (E) для жидких Ar, Kr и Xe [3,4] прямо следует, что в слабых полях для около тепловых электронов величина Z≈16÷18, а при переходе к сильным полям для разогреваемых силовым переносом электронов значение Z постепенно уменьшается до ~4 [1,2]. Применимость газокинетических представлений к динамике электрона в жидких инертных газах обусловлена их большим свободным объемом для движения электрона [1]. Эти результаты кратко изложены в буклетах Совета НТП 2003г. (стр.115) и 2004г. (стр.90).

Результаты и обсуждение

В настоящем информационном сообщении, исходя из свойств рассматриваемой модельной системы, показано, что экспериментально  найденные пределы изменения величины Z (от 16 до 4), а также обнаруженное явление вытягивания пространства скоростей электронов при увеличении E имеют строгое статистическое обоснование.

На дрейфующие в среде электроны действует сила трения, которая компенсирует силу поля, что является условием стационарности их переноса. В данной среде трение возникает при упругом рассеянии импульса переноса электронов p_E = mV_d на атомах. Ясно, что при этом сила упругого трения формируется за счет той части p_E, которая рассеивается назад (против направления p_E), т.к. только эта составляющая способна компенсировать p_E и, соответственно, порождающую p_E силу электрического поля [1,2].

Очевидно, что именно это условие формирования силы упругого трения при рассеянии p_E определяет величину Z, а два предельных значения Z (16 и 4) отвечают двум предельно возможным видам рассеиваемого атомами потока электронов при крайних значениях E. Ясно, что в слабом поле для около тепловых электронов на атомах происходит рассеяние изотропного потока электронов, т.к. пространство скоростей таких электронов, формируемое в основном за счет тепловой энергии среды, еще практически максвелловское, т.е. изотропное. В сильном поле для разогреваемых электронов (на порядки величины тепловой энергии) происходит рассеяние на атомах почти однородного потока электронов. Действительно, в таком  поле траектория электронов за время свободного движения значительно изменяется, и к моменту очередного рассеяния электроны движутся уже почти вдоль направления их переноса и поэтому рассеиваются как почти однородный поток.

Из свойства изотропности упругого рассеяния электронов на атомах прямо следует, что при таком рассеянии аксиально (вдоль любого направления) отражается ¼ часть налетающего однородного потока электронов. Отсюда ясно, что для компенсации всего потока и, соответственно, силы электрического поля, порождающей этот поток, требуются 4 полные рассеяния. Значит в пределе сильного электрического поля, где рассеивается почти однородный поток электронов, действительно, следует ожидать, что Z ≈ 4.

В случае изотропного потока можно показать, что  при его отражении от окружающей полностью отражающей сферы аксиально (вдоль любого направления) отражается ¼ часть потока. В реальной среде эту сферу (с радиусом ≈ λ) образуют атомы, которые отражают назад ¼ часть падающего на них (для них однородного!) потока (см. выше). Отсюда ясно, что при упругом рассеянии на атомах изотропного потока электронов против направления их силового переноса отражается лишь 1/16 часть этого потока, т.е. для компенсации порождающей этот поток силы электрического поля  требуется  16 таких рассеяний. Значит в слабых полях для около тепловых электронов с почти изотропным пространством скоростей должно быть Z ≈ 16, что и следует из эксперимента [1,2].

Экспериментально установленное и теоретически обоснованное уменьшение с ростом E значения Z (от 16 до 4) означает, что силовой разогрев электронов сопровождается значительным вытягиванием пространства скоростей электронов в направлении их переноса. Действительно, разогрев электронов за счет работы силы поля  происходит при их движении только вдоль направления переноса, поэтому он должен сопровождаться приобретением в этом направлении электронами значительной составляющей скорости (импульса), которая затем изотропируется при упругом рассеянии. Поэтому в сильном поле реальное пространство скоростей электронов, представляющее все возможные скорости электронов, должно быть существенно вытянутым. В рамках представлений об эффективной массе силового переноса (и разогрева) электрона m_d, об импульсе ее переноса P_d= m_dV_d и о времени его релаксации τ_d нетрудно описать явление вытягивания поверхности этого эффективного квазиимпульса P_d (см. приложение). Отсюда прямо следует, что приобретаемая за счет переноса средняя (за время τ_d, а значит и по ансамблю) скорость электронов в направлении их дрейфа в 3 раза больше, чем в обратном направлении. В достаточно сильных полях, когда тепловым вкладом в величину ε уже можно пренебречь, данное фундаментальное явление вытягивания пространства скоростей электронов приводит к различию средних энергий у подансамблей таких электронов в 9 раз. Это явление указывает на принципиально векторный характер средней энергии (температуры) электронов, разогреваемых силовым переносом, и именно оно позволяет количественно точно объяснить эффект насыщения V_d в жидких инертных газах надпороговым возбуждением атомов разогреваемыми переносом электронами [1].

Основные выводы

1. Приведенный статистический анализ подтверждает свойства динамики силового переноса и разогрева электронов, ранее установленные из экспериментальных данных для жидких инертных газов, и прямо демонстрирует ошибочность двух традиционных представлений о динамике электрона. А именно, 1) для потери импульса переноса электрона достаточно одного полного упругого столкновения (т.е. Z=1) и 2) функция распределения скоростей электронов в сильных полях для разогреваемых переносом электронов является практически изотропной. То, что условие малости анизотропии этой функции отвечает малому силовому разогреву электронов, показано, например, в [5]. Применение этих неверных представлений и не позволяло прежде разным авторам описать эффекты насыщения и увеличения V_d для такой простой системы как электроны в инертном газе.

2. Установленное явление вытягивания пространства скоростей электронов при их силовом разогреве указывает на принципиально векторную природу их средней энергии (температуры), что необходимо учитывать при описании процесса ударной ионизации электронами в плазме электрического разряда.

Публикации

1. Бориев И.А. "Объяснение наблюдаемого в конденсированных инертных газах  эффекта насыщения дрейфовой скорости избыточных электронов в пределе сильного электрического поля ", Химическая физика, 2003, Т.22 (4), С.76.

2. Бориев И.А. "О причинах увеличения дрейфовой скорости квазисвободных электронов в жидких инертных газах при введении малых количеств молекулярных примесей", Химическая физика, 2003, Т.22 (5), С.102..

3. Yoshino K., Sowada U., Schmidt W.F. “Effect of molecular solutes on the electron drift velocity in liquid Ar, Kr, and Xe”, Phys. Rev. A, 1976, V.14, P.438.

4. Гущин Е.М., Круглов А.А., Ободовский И.М. “Динамика электронов в конденсированных аргоне и ксеноне”, ЖЭТФ, 1982, Т.82, С.1114.

5. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. “Физика полупроводников”, Изд-во “Наука”, М.1977, С.416-426. 

---

Приложение

Фундаментальное явление вытягивания пространства скоростей (импульсов) электронов, разогреваемых силовым переносом в больцмановском газе атомов

Допустим, что упругое рассеяние на атомах (которые пока считаем неподвижными) импульса P_d = m_dV_d каждого из дрейфующих электронов произошло в один момент времени t=0 (см. рис.). При этом (т.к. рассеяние изотропно) образуется сферическая поверхность импульсов радиуса P_d. Далее произведем ее трансформацию под действием силы поля за время τ_d (пока без учета упругих рассеяний за это время). Это, очевидно, даст просто смещение всей поверхности в направлении силового переноса  на величину приращения импульса, равную точно P_d = m_dV_d для обеспечения стационарности переноса. Теперь, при очередном общем рассеянии учтем потерю энергии электрона на все упругие рассеяния за время τ_d, составляющую ε = ½m_dV_d². Как видно, это равно приросту его энергии за время переноса τ_d, что обеспечивает ее стационарность. Изменение импульса электрона от этих рассеяний за время τ_d изотропно и потому не влияет на динамику P_d. Реальная поверхность P_d получается усреднением P_d (t) за время τ_d . Это будет эллипсоид с эксцентриситетом 0,5.

 

Pd = mdVd	t = 0	Pd (t) = -eEt	τd, Pd = mdVd

Эксцентриситет (0,5) этого эллипсоида следует из степени его  вытягивания, определяемой усреднением за время τ_d значений V_d  вдоль (V_d⁺) и против (V_d ^-) направления переноса: 

   V_d ^- =½(V_d  + 0) = ½V_d ,     V_d⁺ = ½(V_d  + 2V_d) = 3/2 V_d , и тогда V_d⁺/ V_d ^- = 3.

Отношение средних энергий электронов с V_d⁺ и с V_d ^-, очевидно, составляет ε⁺/ ε^- = 9, т.е. средняя энергия (температура) разогретых силовым переносом электронов существенно анизотропна.

Учет теплового движения атомов дает дополнительный (аддитивный и изотропный) вклад 3kT/2 в величину ε, не изменяя динамику P_d.